Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che se una successione reale \( a_n \) tende a un limite \( L \neq 0 \), esiste un indice \( N \) oltre il quale tutti i termini della successione hanno lo stesso segno di \(L\). In altri termini:

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L > 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{ N } \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n > 0\]

Se invece \( L < 0\), allora:

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L < 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{ N } \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n < 0 \]

Per definizione,

\[   \lim_{n\to\infty} a_n = L \, \iff \, \exists N \in \mathbb{ N } \, : \, \forall n \geq N \, , \, |a_n - L| < \epsilon \]

In particolare, scelto \( \epsilon = \frac{L}{2} \), si ha

\[ L - \frac{L}{2} < a_n < L + \frac{L}{2} \]

Ora, osserviamo che:

• Se \( L > 0 \), allora 

\[ \left ( L - \frac{L}{2} \right ) = \frac{L}{2} < a_n < \frac{3L}{2} = \left ( L + \frac{L}{2}\right ) \qquad \forall n \geq N\]

• Se \(L = - |L| < 0\), allora 

\[ \left ( -|L| - \frac{|L|}{2}\right )= -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} = \left (-|L| + \frac{|L|}{2}\right ) \qquad \forall n \geq N \]

In entrambi i casi, a partire da \( N \), i termini della successione \( a_n \) hanno lo stesso segno di \( L \).