Abbiamo già calcolato alcune derivate di funzioni elementari mediante limite di rapporto incrementale della funzione \(f(x)\). Adesso vedremo come calcolare - in modo più generico - la derivata della somma \((f + g )(x_0)\), la derivata del prodotto \((f \cdot g )(x_0)\), della funzione inversa \(f ^{ - 1 }(x_0)\) e della funzione composta \((f \circ g)(x_0)\).
Indice
- Derivata della Somma
- Derivata del Prodotto
- Derivata della Funzione Composta
- Derivata della Funzione Inversa
Derivata della Somma. Siano \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) due funzioni e sia \(x_0 \in X\cap Y\). Se \( f \) e \( g \) sono derivabili nel punto \(x_0\), allora \( (f + g )(x) \) è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata è data da\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Dimostrazione. Applichiamo la definizione di derivata alla funzione somma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align}
L'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti. Deduciamo quindi che, poichè le funzioni \(f\) e \(g\) sono derivabili in \(x_0\), la somma è derivabile in \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivata del Prodotto. Siano \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) due funzioni e sia \(x_0 \in X \cap Y\). Se \( f \) e \( g \) sono derivabili nel punto \( x_0 \), allora il prodotto \( (f \cdot g)(x) \) è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata è data da: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Dimostrazione. Applichiamo la definizione di derivata alla funzione prodotto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Possiamo manipolare algebricamente l'espressione - aggiungendo e sottraendo \( f(x_0)g(x) \) - al numeratore per evidenziare la differenza di due termini:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Raggruppiamo i termini in modo da poter raccogliere fattori comuni:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Ora possiamo sostituire questa espressione nel limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Possiamo dividere questo limite in due parti:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideriamo il primo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Dato che \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), possiamo portare \( g(x_0) \) fuori dal limite.
Ora consideriamo il secondo limite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando entrambi i risultati, otteniamo:
\[ ( f \cdot g )(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Questa è la regola del prodotto per le derivate, che afferma che la derivata del prodotto di due funzioni è data dalla somma del prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione, più il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione.
Derivata della Funzione Composta. Siano \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) due funzioni, dove \(X\) contiene un intorno di \(x_0\) e \(Y\) contiene un intorno di \(g(x_0)\), con \(g(X) \subset Y\). Se \(g\) è derivabile in \(x_0\) e \(f\) è derivabile in \(g(x_0)\), allora la funzione composta \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata è data da:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Dimostrazione. Partiamo dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\]
Moltiplichiamo e dividiamo per \((g(x) - g(x_0))\):
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi possiamo separare il limite in due parti:
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
Ora, riconosciamo che il primo limite è la definizione di \(f'(g(x_0))\) e il secondo limite è la definizione di \(g'(x_0)\). Quindi otteniamo:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Derivata della Funzione Inversa. Sia \( f : X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} \) una funzione biiettiva e continua su un intervallo aperto \(X\), con inversa \( f^{-1} : Y \to X \). Sia \( x_0 \in X \) e sia \( y_0 = f(x_0) \). Se \(f\) è derivabile in \(x_0\) e \(f'(x_0) \neq 0\), allora \(f^{-1}\) è derivabile in \(y_0\) e vale: \[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Dimostrazione. Per la regola di derivazione per le funzioni composte: \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = f^{-1} (y_0)\cdot f'(x_0) \). Ma \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = 1 \), in quanto funzione identica su \( X \) e quindi: \[ f'^{-1}(y_0) = \frac{1}{f(x_0)} \]
Osservazione. Se \( f \) è derivabile in \(x_0\) con \(f'(x_0)=0\), allora \(f^{-1}\) non può essere derivabile in \( y_0=f(x_0) \) in quanto \( 1/ f'(x_0)\) non è definita.
Esempio. Sia \( g : [0, +\infty) \longrightarrow [0, +\infty) \) definita da \( g(y)=y^{1/3} \). La funzione \(f^{-1}\) non può essere derivabile in \(y_0=0\) perchè l'inversa \(f(x)=x^3\) è derivabile in \(x_0\) con \(f'(0) = 0\).