Dato un numero reale positivo \( x \) e una base \( b > 0 \) con \( b \neq 1 \), il logaritmo di \( x \) in base \( b \) ( \( \log_b(x) \) ), è l'esponente \( y \) al quale bisogna elevare \( b \) per ottenere \( x \). Formalmente:

\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]

Proprietà dei logaritmi

Identità: \( b^{\log_b(a)} = a \)

Se \( x = \log_b(a) \), allora per definizione \( b^x = a \). Sostituendo \( x \) con \( \log_b(a) \), otteniamo l'uguaglianza cercata: \[ b^{\log_b(a)} = a \]

Regola dell'esponente: \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)

Consideriamo \( y = \log_b(x) \). Da \( b^y = x \), eleviamo ambo i membri alla \( n \)-esima potenza e applichiamo la proprietà \( (b^y)^n = b^{ny} \):

\[ (b^y)^n = x^n \implies b^{ny} = x^n \]

Applicando la definizione del logaritmo a \( x^n \), otteniamo:

\[ \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \]

Regola del Prodotto: \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)

Poniamo \( m = \log_b(x) \) e \( n = \log_b(y) \). Per la definizione, abbiamo \( b^m = x \) e \( b^n = y \). Poiché \( \log_b(b^{m+n}) = m + n \), otteniamo la regola del prodotto: \[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]

Regola del Rapporto: \(\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)

Poniamo di nuovo \( m = \log_b(x) \) e \( n = \log_b(y) \). Poiché \( \frac{x}{y} = b^m \cdot b^{-n} = b^{m-n} \), il logaritmo del rapporto diventa: \[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{m-n}) = m - n \implies \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \]

Cambiamento di Base: \(\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}\)

Se prendiamo il logaritmo in base \( c \) di entrambi i membri di \( b^y = x \), otteniamo: \[ y \cdot \log_c(b) = \log_c(x) \implies y = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \]

e quindi: \[ \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \]