Per ogni \(n\in\mathbb{N}\) e per ogni \(x > -1\), la disuguaglianza di Bernoulli afferma che:

La dimostrazione può essere fatta utilizzando diverse tecniche. Qui la dimostreremo per induzione.

Base induttiva: Per \(n = 1\), la disuguaglianza afferma che:

\[(1 + x)^1 \geq 1 + 1 \cdot x,\]

che è vera poiché \( (1 + x)^1 = 1 + x \).

Passo induttivo: Supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo \(n \in \mathbb{N}\), ovvero:

\[(1 + x)^n \geq 1 + nx.\]

Dimostriamo che è vera anche per \(n + 1\):

Moltiplichiamo ambo i membri della disuguaglianza per la quantità positiva \(1 + x\):

\[(1 + x) \cdot (1 + x)^n \geq (1 + x) \cdot (1 + nx).\]

Otteniamo:

\[(1 + x)^{n+1} \geq 1 + nx + x + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2.\]

Poiché \(nx^2 \geq 0\), si ha che:

\[1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x.\]

Quindi:

\[(1 + x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x.\]

Per il principio di induzione, la disuguaglianza di Bernoulli è vera per ogni \(n \in \mathbb{N}\).