Per determinare la derivata della funzione logaritmo naturale \( f(x) = \ln(x) \) dobbiamo calcolare il limite del rapporto incrementale per \(x \to x_0\) come segue

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

Applicando questa definizione, il limite del rapporto incrementale diventa::

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]

Per le proprietà dei logaritmi, il numeratore del rapporto incrementale diventa

\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]

Quindi:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*)\]

Ora, l'idea è quella di ricondurci ad un limite notevole. Poniamo \( u = x - x_0 \), il che implica \( x = x_0 + u \). Quando \( x \to x_0 \), si ha che \( u \to 0 \).

Sostituendo \( x = x_0 + u \) nel limite \( (*) \), otteniamo:

\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]

Questo limite si può riscrivere come:

\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]

Per semplificare il calcolo, poniamo \( t = \frac{u}{x_0} \implies u = x_0 t \). Quando \( u \to 0 \), anche \( t \to 0 \).

Sostituendo, otteniamo:

\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{limite notevole}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]

Di conseguenza, la derivata di \( \ln(x) \) rispetto a \( x \) è:

\[ f'(x) = \frac{1}{x}  \quad \forall x > 0\]